论文记录-Strategic Information Revelation in Crowdsourcing Systems Without Verification

2020-12-25

论文

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Strategic Information Revelation in Crowdsourcing Systems Without Verification

Abstract

本文研究：无需验证解决方案、激励员工提供高质量解决方案的众包平台
本文假设：信息不对称、平台具有信息优势——平台知道有关workers解决方案的平均准确性的更多信息，可以向workers策略性披露信息。根据平台公开的信息，workers判断自己认真完成任务后所获得的奖励。
workers类型：
1. naive workers：完全信任平台公开的信息
2. strategic workers：基于平台公开信息更新自己的先验信念
本文发现：
1. 对于naive workers：始终宣布高平均精度
2. 对于strategic workers：有动机宣布低于实际值的平均精度
3. 平台的回报可能减少高精度workers

Introduction

Motivation

互联网的发展使得多种在线任务的众包具有可行性。
高质量的众包任务解决方案需要worker付出足够的努力，因此平台需要提供激励；而平台无法获取真实结果验证解决方案时，设计激励方案会很难，进而引出IEWV问题。
IEWV(Information elicitation without verification)：未验证的信息挖掘，大多数研究对称信息场景；而实际上，平台往往有更多信息。
本文采用多数投票方案：如果一个worker与其他workers的大多数解决方案相匹配，他将获得一个一致性奖励。
本文假设平台有一个额外决策：信息披露。该场景中，workers由高精度和低精度的混合构成，平台知道每种类型的数量，而workers不知道。
本文研究：
1. 平台是否有披露信息的动机
2. 平台是否操纵被披露的信息
3. 平台的最优信息披露策略——>平台如何利用信息不对称
平台与workers之间的交互（三阶段）：
1. 平台决定信息披露策略
2. 平台决定一致性奖励
3. workers决定是否努力完成任务以及是否如实报告解决方案
4. 上述三阶段结束后，平台收集workers上报的解决方案并根据三阶段来决定一致性奖励
本文考虑两种类型的workers：
1. naive workers：完全相信平台、workers推理平台公开信息是否可靠的能力有限，可以作为基准
2. strategic workers：不相信平台，有很高推理能力

Key Contributions

研究IEWV问题的策略性信息披露：非凸问题，但是可以利用特殊结构求最优解
workers的均衡策略：证明workers之间存在多重均衡，在适当的信息披露和报酬设计下，所有workers努力工作并如实报告自己解决方案是其帕累托最优
平台信息披露策略：
1. naive workers：始终公布一个与实际值无关的较高的平均准确率
2. strategic workers：有动机公布一个低于实际值的平均准确率
性能评估：数值实验
1. 平台报酬增加了workers对高准确率workers数量的先验信念
2. 平台报酬可能会减小高准确率workers的数量

Information Elicitation Without Verification(IEWV)

设计适当的激励
同伴预测
大都假设信息对称

Strategic Information Revelation

不完全信息中的cheap talk问题——假设平台不会说谎
考虑信息获取和揭示代价的劝说博弈——认为信息披露是唯一的决策

Model

Workers’ Decisions and Payoffs

任务和workers：
1. 任务：二值问题，例如判断数学问题求解方案是否正确，解空间{1， -1}，分别表示正确和错误。
2. workers：$N$个，$x_i^{estimate}$表示第$i$个worker对该任务解的估计值，$x_i^{report}$表示第$i$个worker对该任务解的上报值，这二者可能一样也可能不同。
workers的努力策略：
1. worker可以决定是否努力工作，求解准确性和他选择的努力程度有关，努力程度为{0,1}两种。
  1. 努力程度为0时，worker求解准确率为0.5，代价为0，且无法获取关于任务解方案的任何信息（即其估计值为真或假的概率相等）
  2. 努力程度为1时，其求解准确率会提高为$p_i$，代价为$c$。
2. workers的异构：$N$个workers中有$k$个高准确率的worker（准确率为$p_h$）使用集合$N_h$表示；$N-k$个低准确率的worker（准确率为$p_l$），使用集合$N_l$表示。两个准确率值均大于0.5小于1。
worker的上报策略：
1. 对于不努力的worker：策略唯一，随机上报，用rd表示
2. 对于努力的worker：策略空间{1,-1}，分别表示如实报告和谎报
3. workers可以共谋，大家都报告1或者-1，但对于在线众包系统，这样的共谋并不现实；平台检测到共谋则会删除该worker，因此认为workers的报告策略是独立的，且只有{rd,1,-1}这三个选项。
4. $s_i=(e_i,r_i)$表示第$i$个worker的努力策略和报告策略，具体来说$s_i\in S_i=\{(0,rd),(1,1),(1,-1)\}$
一致性奖励：
1. 报告值和大多数人一样的worker可以得到奖励$R$。
2. $G_i(s;\epsilon)$表示第$i$个worker收到$R$的概率，其中，$s=(e_i,r_i)$，$\epsilon$是平台策略，在后面进行分析。
worker的收益：$u_i(s;\epsilon,R)=G_i(s;\epsilon)\cdot R-e_i\cdot c$

Platform’s Decisions and Payoff

平台的信息披露策略：
1. 平台拥有的信息优势：workers求解准确率的分布，也就是高准确率workers的数量$k$
2. 平台和workers之间非对称信息披露的贝叶斯说服框架：
  1. 平台和workers都不知道$k$，平台需要进行长期信息披露策略：
    1. 平台虽然不知道$k$，但是知道$k$的分布，从而得到先验信念$\mu^{prior}=(\mu_{high}^{prior},\mu_{low}^{prior})$，其中$\mu_{high}^{prior}=Pr(k=k^{high})$，$\mu_{low}^{prior}=Pr(k=k^{low})$。$\mu_{high}^{prior}+\mu_{low}^{prior}=1$，且$k^{high}$和$k^{low}$是$k$的两个可能取值。
    2. 这个先验同时也是workers的，大家都一样。
    3. 注意，出于简化，上述公式中$k$的分布是两点分布，本方法同样适用于其他分布的情况。
    4. 在$k$被发现之前，平台会预定一个信息披露策略（？是否公开——从后文看是公开的，或者说是workers能发现其规律）。
    5. 平台可以有多个任务，每个任务有各自对应的$k$，在workers到来之前（也即是在$k$被发现之前），平台会先决定信息披露策略，并承诺会按这个策略执行，从而建立良好信誉。
    6. $\epsilon = (\epsilon^h, \epsilon^l)\in [0,1]^2$：平台的信息披露策略。假设当$k=k^{low}$时，平台宣称$k_p^{anu}=k^{high}$的概率是$\epsilon^h$，而反之，当$k=k^{high}$时，平台宣称$k_p^{anu}=k^{low}$的概率是$\epsilon^l$。
    7. 总结一下就是平台会按下列概率决策：
      
      $Pr(k_p^{anu}=k^{high}|k=k^{low})=\epsilon^h$
      
      $Pr(k_p^{anu}=k^{low}|k=k^{low})=1-\epsilon^h$
      
      $Pr(k_p^{anu}=k^{high}|k=k^{high})=1-\epsilon^l$
      
      $Pr(k_p^{anu}=k^{low}|k=k^{high})=\epsilon^l$
      
      即：k有两个取值，一个high，一个low，当真实的k是high时，平台说谎的概率是$\epsilon^l$；当真实的k是low时，平台说谎的概率是$\epsilon^h$。
  2. workers执行任务，平台观察到$k$，workers尚且不知道；
  3. 平台依据之前决定的策略公开$k_p^{anu}$，可能和真实$k$不同，平台决定的$\epsilon$会影响workers对$k$的后验信念，从而影响平台的信誉和收益。
  4. workers可以通过重复与平台交互从而了解平台的信息披露策略，也可以通过平台反馈以及信誉系统来了解信息披露策略。
平台的奖励设计策略：$R$，决定worker均衡收益
平台的收益：准确率和代价之间的均衡

$U_p(\epsilon,R,k;s)=\beta P_a(\epsilon,R,k;s)-E\{R^{tot}(\epsilon,R,k;s)\}$
1. $P_a(\epsilon,R,k;s)$表示workers的任务聚合准确率，使用少数服从多数的规则来计算该概率。
2. $\beta$表示平台对聚合准确率的估值（从公式上理解感觉更像是说当聚合结果是正确的时候所得到的收益）
3. $E\{R^{tot}(\epsilon,R,k;s)\}$表示对总的一致性奖励的预期支出（这里的$R^{tot}$是指什么？）

SOLVING THREE-STAGE MODEL

本章节使用逆向归纳法，仅分析strategic worker。

Worker Equilibrium Behaviors in Stage III

前提：给定平台策略$\epsilon$和$R$，每个worker选择自己的努力程度和报告策略$s_i$来最大化自身收益
worker的信念更新：平台公布$k_p^{anu}$之前，workers有对$k$的先验信念$\mu^{prior}$（是每人一个还是所有worker共用？）
1. 平台公布$k_p^{anu}$后，workers基于先验信念和平台公布值更新后验信念$\mu_w^{post,str}|k_p^{anu}$，其中$w\in \{high,low\}$。计算如下：
  $\mu_{high}^{post,str}|k^{high}(\epsilon)=\frac{(1-\epsilon^l)\mu_{high}^{prior}}{(1-\epsilon^l)\mu_{high}^{prior}+\epsilon^h\mu_{low}^{prior}}$ $\mu_{low}^{post,str}|k^{high}(\epsilon)=\frac{\epsilon^h\mu_{low}^{prior}}{(1-\epsilon^l)\mu_{high}^{prior}+\epsilon^h\mu_{low}^{prior}}$ $\mu_{high}^{post,str}|k^{low}(\epsilon)=\frac{\epsilon^l\mu_{low}^{prior}}{\epsilon^l\mu_{high}^{prior}+(1-\epsilon^h)\mu_{low}^{prior}}$ $\mu_{low}^{post,str}|k^{low}(\epsilon)=\frac{(1-\epsilon^h)\mu_{low}^{prior}}{\epsilon^l\mu_{high}^{prior}+(1-\epsilon^h)\mu_{low}^{prior}}$
  推导过程用到了贝叶斯公式。
  
  前两行表示平台宣布$k=k^{high}$时，worker对$k$实际值的后验信念；后两行表示平台宣布$k=k^{low}$时，worker对$k$实际值的后验信念。
2. 显然，第一个公式里，随着$\epsilon^h$的增加，workers对k为high的后验信念逐渐减小，也就是说，如果平台在k实际为low时说谎的概率增加，则workers在听到平台说k为high时，会怀疑平台说谎；类似地，在第四个公式中，随着$\epsilon^l$的增加，workers对k为low的后验信念逐渐减小，也就是说，如果平台在k实际为high时说谎的概率增加，则workers在听到平台说k为low时，会怀疑平台，进而减小后验信念。
worker的均衡策略：worker根据后验信念做出是否努力以及是否如实汇报的决策，本文关注对称纳什均衡——相同类型（任务求解准确率）的worker会有相同的决策。
1. 定义1：
  1. $n-SNE$：$(s_i^*=(0,rd), \forall i\in N)$，没有worker会努力和如实报告
  2. $f-SNE$：$(s_i^*=(1,1), \forall i\in N)$，所有worker都努力和如实报告
  3. $p-SNE$：$(s_i^=(1,1), \forall i\in N_h, s_j^=(0,rd), \forall j\in N_l)$，高准确率的worker会努力和如实报告，低准确率的worker会不努力和随机报告
2. 定理1：
  1. 给定任意$\epsilon\in [0,1]^2$，$R\geq 0$时一定存在一个$n-SNE$.
  2. 给定任意$\epsilon\in [0,1]^2$，始终存在阈值$R_f^{str}(\epsilon, k_p^{anu})> 0$，使得当且仅当$R>R_f^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$时存在$f-SNE$.
  3. 当$\epsilon\in \Phi=\{\epsilon\in [0,1]^2|condition (11) \}$成立时，存在两个阈值$0<R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu})\leq R_{ph}^{str}(\epsilon, k_p^{anu})$，使得当且仅当$R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu})\leq R \leq R_{ph}^{str}(\epsilon, k_p^{anu})$时，存在$p-SNE$. $condition (11)$如下：
  在该公式中，$P_{k^{high}-1}^{majority}$是指：当$k^{high}-1$个高准确率workers决定采取策略$(1,1)$且剩下的其他workers都决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）
  
  $P_{k^{low}-1}^{majority}$是指：当$k^{low}-1$个高准确率workers决定采取策略$(1,1)$且剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）
  
  $P_{k^{high}}^{majority}$是指：$k^{high}$个高准确率worker决定采取策略$(1,1)$，剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）
  
  $P_{k^{low}}^{majority}$是指：$k^{low}$个高准确率worker决定采取策略$(1,1)$，剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）
  
  这个公式算起来很复杂，它表达的场景是：当选择努力时，高准确率worker相信他们更有可能拿到奖励（而不是低准确率worker），也就是说高准确率worker认为自己是大多数的那部分。反之，当这个公式不满足时，高准确率worker会觉得自己拿到奖励的概率很低，从而使得高准确率worker的期望收益很低。此时，高准确率worker不会努力，而是选择降低成本，进而不存在$p-SNE$。
推论1：
1. 对于一个固定的$\epsilon^l$，如果$k_p^{anu}=k^{high}$，则定理1中的$R_f^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$和$R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$随$\epsilon^h$增加而增加；反之，如果$k_p^{anu}=k^{low}$，则这两个都随$\epsilon^h$增加而减小。
  
  说明：如果平台更喜欢把$k_p^{anu}$谎报成$k^{high}$（也就是说在$k^{low}$时说谎），那么为了达成$f-SNE$和$p-SNE$，平台需要提供更高报酬（也就是更大的$R$）。分析原因：这种情况会让workers觉得实际的$k$并不是$k^{high}$而是$k^{low}$，也就是说$\mu_{high}^{post,str}|k^{high}(\epsilon)$会减小，因此通过多数一致获得的奖励会减少，而为了激励workers，平台就需要提高奖励，从而提高workers的期望收益。
2. 对于一个固定的$\epsilon^h$，如果$k_p^{anu}=k^{high}$，则定理1中的$R_f^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$和$R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$随$\epsilon^l$增加而增加；反之，如果$k_p^{anu}=k^{low}$，则这两个都随$\epsilon^l$增加而减小。
  
  说明：如果平台更喜欢把$k_p^{anu}$谎报成$k^{low}$（也就是说在$k^{high}$时说谎），那么为了达成$f-SNE$和$p-SNE$，平台也一样需要提高报酬来激励。这里的推导可以看前面workers更新后验信念那里的公式来理解。
3. 对于适当的$\epsilon$和$R$，定理1中的几个不同的$SNE$可以共存。
定理2：帕累托最优：对于任意给定$\epsilon$和$R$，workers之间存在一个帕累托最优均衡解。

本文假设当多个均衡解共存时，workers会选择帕累托最优。

Platform Reward Design in Stage II

这一部分分析对于给定的$\epsilon$，平台观察$k$并决定$R$，从而在第三阶段达到帕累托最优。

定义2：$z\in \{n,f,p\}$表示均衡解索引
1. $P_z(k)$：均衡$z-SNE$的任务聚合准确率
2. $E\{R_z^{tot}(\epsilon,k,k_p^{anu})\}$：均衡$z-SNE$的总期望一致性奖励
3. $B_z(\epsilon,k,k_p^{anu})$：对于每单位$R$，均衡解从$n-SNE$提升到$z-SNE$所带来的平均准确率的提升，计算方式如下：
  $B_z(\epsilon,k,k_p^{anu})=\frac{P_z(k)-P_n(k)}{E\{R_z^{tot}(\epsilon,k,k_p^{anu})\}}$
定理3：
1. 如果$(11)$成立且$B_p(\epsilon,k,k_p^{anu})>B_f(\epsilon,k,k_p^{anu})$，则平台的最优奖励为：
  $R^*=\left\{ \begin{aligned} &0, &if \ \ \beta<\frac{1}{B_p(\epsilon,k,k_p^{anu})}\\ &R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu}), &if\ \ \frac{1}{B_p(\epsilon,k,k_p^{anu})} \leq \beta<\widetilde\beta(\epsilon,k,k_p^{anu}) \\ &R_{f}^{str}(\epsilon,k_p^{anu}), &if\ \ \beta\geq \widetilde\beta(\epsilon,k,k_p^{anu}) \end{aligned} \right.$
  其中，$\widetilde\beta(\epsilon,k,k_p^{anu})=\frac{E\{R_f^{tot}(\epsilon,k,k_p^{anu})-E\{R_p^{tot}(\epsilon,k,k_p^{anu})}{P_f(k)-P_p(k)}$
2. 如果$(11)$不成立或者$B_p(\epsilon,k,k_p^{anu})<B_f(\epsilon,k,k_p^{anu})$，则平台的最优奖励为：
  $R^*=\left\{ \begin{aligned} &0, &if \ \ \beta<\frac{1}{B_f(\epsilon,k,k_p^{anu})}\\ &R_{f}^{str}(\epsilon,k_p^{anu}), &if\ \ \beta\geq \frac{1}{B_f(\epsilon,k,k_p^{anu})} \end{aligned} \right.$
  注意，$(11)$是达到$p-SNE$所必须的条件。
定理3说明了：
1. 如果$p-SNE$存在，且它比$f-SNE$的单位收益准确率提升更高，且平台的估值$\beta$是温和的，平台会通过选择$R^*=R_{pl}^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$引出$p-SNE$作为第三阶段的帕累托均衡来最大化自己的收益。
2. 如果$p-SNE$不存在，或者它比$f-SNE$的单位收益准确率提升低，那么$p-SNE$对平台而言就不是最好的均衡解。当$\beta$很大时，平台会通过选择$R^*=R_f^{str}(\epsilon,k_p^{anu})$引出$f-SNE$作为第三阶段的帕累托最优。

Platform Information Revelation in Stage I

这一部分讨论平台的信息披露策略。在该阶段中，平台决定自己的信息披露策略$\epsilon = (\epsilon^h,\epsilon^l)\in[0,1]^2$，并预测自己在第二阶段中的$R$和workers在第三阶段中的帕累托均衡。

重复一下前文的符号表示：

$\epsilon = (\epsilon^h, \epsilon^l)\in [0,1]^2$：平台的信息披露策略。假设当$k=k^{low}$时，平台宣称$k_p^{anu}=k^{high}$的概率是$\epsilon^h$，而反之，当$k=k^{high}$时，平台宣称$k_p^{anu}=k^{low}$的概率是$\epsilon^l$。

总结一下就是平台会按下列概率决策：

$Pr(k_p^{anu}=k^{high}|k=k^{low})=\epsilon^h$

$Pr(k_p^{anu}=k^{low}|k=k^{low})=1-\epsilon^h$

$Pr(k_p^{anu}=k^{high}|k=k^{high})=1-\epsilon^l$

$Pr(k_p^{anu}=k^{low}|k=k^{high})=\epsilon^l$

即：k有两个取值，一个high，一个low，当真实的k是high时，平台说谎的概率是$\epsilon^l$；当真实的k是low时，平台说谎的概率是$\epsilon^h$。

定理4：对平台而言，设置为$\epsilon^h=1,\epsilon^l=0$并不总是最优解。

换言之，宣称$k_p^{anu}=k^{high}$并不总是最好的，具体分析如下：

首先，复习内容：$k$的真实值影响第2阶段中的奖励设计，而平台对$k$的宣称值$k_p^{anu}$影响第3阶段中workers的行为。考虑一下4种情况：
1. Case $(h,h)$: $k=k^{high}$ 且 $k_p^{anu}=k^{high}$，出现概率$Q_{h,h}(\epsilon)=\mu_{high}^{prior}(1-\epsilon^l)$
2. Case $(h,l)$: $k=k^{high}$ 且 $k_p^{anu}=k^{low}$，出现概率$Q_{h,l}(\epsilon)=\mu_{high}^{prior}\epsilon^l$
3. Case $(l,h)$: $k=k^{low}$ 且 $k_p^{anu}=k^{high}$，出现概率$Q_{l,h}(\epsilon)=\mu_{low}^{prior}\epsilon^h$
4. Case $(l,l)$: $k=k^{low}$ 且 $k_p^{anu}=k^{low}$，出现概率$Q_{l,l}(\epsilon)=\mu_{low}^{prior}(1-\epsilon^h)$
固定$\epsilon^l$，平台的期望收益为：

$U_{h,h}$表示在Case $(h,h)$的情况下，平台在第2阶段最优化奖励值后的最大收益。其他几个U也是类似的含义。

接下来分析期望收益随披露策略的变化趋势。
引理1：
1. $U_{h,h}(\epsilon^h),U_{l,h}(\epsilon^h),Q_{l,l}(\epsilon^h)$随$\epsilon^h$增加而减小。
2. $U_{h,l}(\epsilon^h),U_{l,l}(\epsilon^h),Q_{l,h}(\epsilon^h)$随$\epsilon^h$增加而增加。
分析：$Q_{l,l}(\epsilon^h)$和$Q_{l,h}(\epsilon^h)$随$\epsilon^h$的变化从定义即可看出。接下来用Case $(h,h)$ 中的 $U_{h,h}(\epsilon^h)$作为例子来分析。在推论1中可知，随$\epsilon^h$增加，平台需要支付更大的奖励$R$来激励workers，而这会减小平台的收益。其他几个U也是类似的分析思路。

而由于$E\{U_p(\epsilon^h)\}$的几部分单调性不同，因此无法直接分析出平台收益随$\epsilon^h$的变化趋势。同样的，$E\{U_p(\epsilon^l)\}$也无法分析变化趋势。从而得出定理4的结论。

具体的平台披露策略因为太复杂了，所以没法分析，在实验部分进行了数值实验。

NUMERICAL RESULTS

这一部分进行数值实验，研究两类workers：策略型和天真型，天真型的符号表达沿用前文中策略型的，只是把str改成了nai，具体如下：

$\left\{ \begin{aligned} \mu_{high}^{post,nai}|k^{high}=\mu_{low}^{post,nai}|k^{low}=1\\ \mu_{high}^{post,nai}|k^{low}=\mu_{low}^{post,nai}|k^{high}=0\\ \end{aligned} \right.$

接下来的实验结果说明：平台始终向天真的工人宣布高平均工人准确率是最佳的（也就是$k=k^{high}$），但对策略型工人来说并非如此。我们还显示了一个反直觉的结果，表明平台的收益随高准确率workers的准确率提高而提高，随高准确率workers的数量提高而减小。

Impact of Worker Characteristics

这一部分研究高准确率workers的准确率$p_h$对平台最优收益、workers总收益（所有workers的收益和）和社会福利（平台收益+workers收益）的影响。

参数：workers数量$N=100$，高准确率workers的准确率$p_h\in(0.7,0.8),step=0.02$，低准确率workers的准确率$p_l=0.6$，对$k$的先验信念$\mu_{high}^{prior}=0.7,\mu_{low}^{prior}=0.3$，$k$的取值$k^{low}=20,k^{high}\in\{50,70\}$，workers努力的成本$c=1$，平台对聚合准确的估值$\beta=1000$。

分析图像：

平台收益随$p_h$增加而增加，对于某些$p_h$随$k^{high}$增加（指从50变成70）而减小。
天真的workers给平台带来的收益更高。
workers收益可能随$p_h$增加而减小。
社会财富随$p_h$增加而增加。

Impact of Worker Prior Belief

这一部分研究先验信念对平台最优收益、workers总收益和平台披露策略的影响。

参数：workers数量$N=100$，高准确率workers的准确率$p_h=0.75$，低准确率workers的准确率$p_l=0.6$，对$k$的先验信念$\mu_{high}^{prior}\in\{0.01,0.2,0.4,0.6,0.8,0.99\}$，$k$的取值$k^{low}=20,k^{high}\in\{50,70\}$，workers努力的成本$c=1$，平台对聚合准确的估值$\beta=1000$。

分析图像：

平台收益随先验$\mu_{high}^{prior}$增加而增加。
策略型workers的聚合收益随先验$\mu_{high}^{prior}$增加而减小，天真型workers的聚合收益与先验$\mu_{high}^{prior}$无关。
面对天真型workers，平台始终宣称$k=k^{high}$是最优的；面对策略型workers则不是这样。
面对策略型workers时，平台的最优$\epsilon^{h}$随先验$\mu_{high}^{prior}$增加而减小，最优$\epsilon^{l}$随先验$\mu_{high}^{prior}$增加而增加。

CONCLUSION

策略性信息披露问题——非凸规划
naive workers：总是公开一个较高的平均准确率
strategic workers：收益和平台信用的平衡，有动机宣布一个低于实际值的平均准确率
平台报酬可能减少高准确率workers的数量
未来工作：
1. 多维workers异质性
2. 考虑信息披露的代价（获取信息所产生的成本）

Reference

贝叶斯公式

我的分析

第三阶段workers均衡解定理1

要用到的字母表达：

$P_{k^{high}-1}^{majority}$是指：当$k^{high}-1$个高准确率workers决定采取策略$(1,1)$且剩下的其他workers都决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）

$P_{k^{low}-1}^{majority}$是指：当$k^{low}-1$个高准确率workers决定采取策略$(1,1)$且剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）

$P_{k^{high}}^{majority}$是指：$k^{high}$个高准确率worker决定采取策略$(1,1)$，剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）

$P_{k^{low}}^{majority}$是指：$k^{low}$个高准确率worker决定采取策略$(1,1)$，剩下的其他workers决定采取策略$(0,rd)$时，$N-1$个workers的解决方案中的大多数是正确的概率（也就是多数一致方案是正确的概率）

$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$和$\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$是高质量workers的数量的后验概率

我增加的字母表达：$P^{00}$表示高低质量都采取$(0,rd)$时多数一致方案是正确的概率，$P^{01}$表示高质量采取$(0,rd)$低质量采取$(1,-1)$…类似的，可以把workers策略组合的所有概率表达都写出来，上标左边的数字表示高质量workers的策略，右边的数字表示低质量workers的策略，数字012分别表示策略$(0,rd),(1,-1),(1,1)$。

显然，$P^{00}=0.5$，$P^{20}=\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority}$

本文假设相同质量的workers会采取相同的策略，也就是说，高低质量的workers的策略组合一共有9种，我们列出收益矩阵：

	(0,rd)	(1,-1)	(1,1)
(0,rd)	$(0.5R, 0.5R)$
(1,-1)
(1,1)

低质量workers选$(0,rd)$

高质量workers选$(0,rd)$，所有workers的答案是正确和错误的概率都是0.5，因此大家的收益都是$0.5R$，没有支出。
高质量workers选$(1,1)$，高质量workers正确的概率是$p_h$，低质量workers正确的概率是0.5，多数一致方案正确的概率是$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority}$，
高质量workers选$(1,-1)$，高质量workers正确的概率是$1-p_h$，低质量workers正确的概率是0.5，多数一致方案正确的概率是$P^{10}$。

低质量workers选$(1,-1)$

高质量workers选$(0,rd)$，高质量workers正确的概率是0.5，低质量workers正确的概率是$1-p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{01}$。
高质量workers选$(1,1)$，高质量workers正确的概率是$p_h$，低质量workers正确的概率是$1-p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{21}$。
高质量workers选$(1,-1)$，高质量workers正确的概率是$1-p_h$，低质量workers正确的概率是$1-p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{11}$。

低质量workders选$(1,1)$

高质量workers选$(0,rd)$，高质量workers正确的概率是0.5，低质量workers正确的概率是$p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{02}$。
高质量workers选$(1,1)$，高质量workers正确的概率是$p_h$，低质量workers正确的概率是$p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{22}$。
高质量workers选$(1,-1)$，高质量workers正确的概率是$1-p_h$，低质量workers正确的概率是$p_l$，多数一致方案正确的概率是$P^{12}$。

这里看起来是把每一个都列出来，然后比较大小找均衡解。

$Condition(11)$的推导

在$p-SNE$的情况下，高准确率的worker采取策略$(1,1)$，低准确率的worker采取策略$(0,rd)$。

对于一个高质量worker，该workers努力时得到正确答案概率：$p_h$，得到错误答案概率：$1-p_h$。

其他workers中，高质量workers的数量$k$为$k^{high}-1$或者$k^{low}-1$，且对应的概率分别是两个后验概率$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$和$\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$，而这两种情况下其他workers的多数一致方案是正确和错误的概率分别是$P_{k^{high}-1}^{majority}$和$P_{k^{low}-1}^{majority}$，即可得：

其他workers的多数一致方案是正确的概率：$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}-1}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}-1}^{majority}$，

其他workers的多数一致方案是错误的概率：$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{high}-1}^{majority})+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{low}-1}^{majority})$

一个努力且如实报告的高质量worker得到收益的概率为：

$p_h(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}-1}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}-1}^{majority})+(1-p_h)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{high}-1}^{majority})+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{low}-1}^{majority})) \tag{1}$

对于一个低质量worker而言，该workers努力时得到正确答案概率：$p_l$，得到错误答案概率：$1-p_l$，其他workers中，高质量workers的数量$k$为$k^{high}$或者$k^{low}$，且对应的概率分别是两个后验概率$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$和$\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)$，而这两种情况下其他workers的多数一致方案是正确和错误的概率分别是$P_{k^{high}}^{majority}$和$P_{k^{low}}^{majority}$，即可得：

其他workers的多数一致方案是正确的概率：$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority}$，

其他workers的多数一致方案是错误的概率：$\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{high}}^{majority})+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{low}}^{majority})$

一个努力且如实报告的低质量worker得到收益的概率为：

$p_l(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority})+(1-p_l)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{high}}^{majority})+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)(1-P_{k^{low}}^{majority})) \tag{2}$

公式(1)大于公式(2)所推导出的公式和论文中的$condition(11)$不一样，暂时没想到其他的思路。

这里推导出的是：

$(1-p_h)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon))+(2p_h-1)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}-1}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}-1}^{majority})\geq \\ (1-p_l)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon))+(2p_l-1)(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority})$

论文里的11是：

$\frac{2p_h-1}{2p_l-1}(\mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}-1}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}-1}^{majority})\geq \mu_{high}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{high}}^{majority}+\mu_{low}^{post,str}|k_p^{anu}(\epsilon)P_{k^{low}}^{majority} \tag{11}$

一些问题

均衡解和阈值是怎么算出来的完全不懂
实验部分是怎么算最优平台披露策略$\epsilon^h,\epsilon^l$
图2(b)中增加的那段没有解释
$k^{high}=50$和$k^{high}=70$只有两个值是否能充分说明变化趋势（这个不重要）
社会财富的增加是否与平台数值过大有关（这个也不重要）
多数一致投票的时候，如果两边一样怎么处理（这个还不重要）